Bài 63: Góc & Phép Quay¶

Tác giả: FPTOJ Team
Nội dung tham khảo từ: CP-Algorithms, VNOI Wiki

0. Tại sao phải học?¶

Bài toán mở đầu: Cho điểm \(P(1, 0)\). Quay \(P\) quanh gốc tọa độ \(90°\) ngược chiều kim đồng hồ được điểm nào? Bằng trực giác: \((0, 1)\). Nhưng quay \(P(3, 2)\) đi \(37°\) thì sao — không thể vẽ tay. Công thức quay cho đáp án ngay, và nó chỉ là tổ hợp tuyến tính của 2 vector cơ sở: trục \(x\) \((1,0)\) quay thành \((\cos\theta, \sin\theta)\), trục \(y\) \((0,1)\) quay thành \((-\sin\theta, \cos\theta)\). Mọi điểm \(P = x \cdot e_1 + y \cdot e_2\) sau quay vẫn là tổ hợp với cùng hệ số \(x, y\) — đó chính là ma trận quay ở §2.

1. Góc giữa hai vector¶

1.1 Dùng atan2¶

Hàm atan2(y, x) trả về góc (radian) từ trục \(x\) dương đến vector \((x, y)\), trong khoảng \((-\pi, \pi]\).

C++Python

double angleOfVector(Point A) {
    return atan2(A.y, A.x); // góc từ trục x đến vector A
}

double angleBetween(Point A, Point B) {
    double a = atan2(A.y, A.x);
    double b = atan2(B.y, B.x);
    double diff = abs(a - b);
    if (diff > M_PI) diff = 2 * M_PI - diff;
    return diff; // góc nhỏ nhất giữa 2 vector
}

import math

def angle_of_vector(A):
    return math.atan2(A[1], A[0])

def angle_between(A, B):
    a = math.atan2(A[1], A[0])
    b = math.atan2(B[1], B[0])
    diff = abs(a - b)
    if diff > math.pi:
        diff = 2 * math.pi - diff
    return diff

1.2 Dùng dot product¶

\[\cos(\theta) = \frac{A \cdot B}{|A| \cdot |B|}\]

C++

double angleBetweenDot(Point A, Point B) {
    double cosTheta = dot(A, B) / (magnitude(A) * magnitude(B));
    cosTheta = max(-1.0, min(1.0, cosTheta)); // clamp
    return acos(cosTheta);
}

2. Phép quay điểm¶

2.1 Quay quanh gốc tọa độ¶

Quay điểm \((x, y)\) một góc \(\theta\) (ngược chiều kim đồng hồ, đơn vị radian):

\[x' = x\cos\theta - y\sin\theta\]

\[y' = x\sin\theta + y\cos\theta\]

Đọc công thức bằng lời: tọa độ mới \(x'\) = (hình chiếu của \(P\) lên trục \(x\) đã quay) \(-\) (hình chiếu lên trục \(y\) đã quay). Khi \(\theta = 90°\): \(\cos = 0, \sin = 1\) → \((x,y) \to (-y, x)\) — khớp trực giác (điểm \((1,0)\) thành \((0,1)\) ✓).

Minh họa trực quan (Phép quay điểm quanh gốc tọa độ):

C++Python

// Quay điểm P quanh gốc tọa độ góc theta (radian, CCW)
Point rotate(Point P, double theta) {
    double c = cos(theta), s = sin(theta);
    return {
        P.x * c - P.y * s, // x' = x·cos − y·sin
        P.x * s + P.y * c  // y' = x·sin + y·cos
    };
}

import math

def rotate(P, theta):
    x, y = P
    return (
        x * math.cos(theta) - y * math.sin(theta),
        x * math.sin(theta) + y * math.cos(theta)
    )

2.2 Quay quanh điểm bất kỳ¶

Quay điểm \(P\) quanh tâm \(O\) góc \(\theta\):

\[P' = O + \text{rotate}(P - O, \theta)\]

C++

// Quay P quanh tâm O: tịnh tiến O về gốc → quay → tịnh tiến ngược lại
Point rotateAround(Point P, Point O, double theta) {
    Point translated = {P.x - O.x, P.y - O.y}; // đưa O về gốc
    Point rotated = rotate(translated, theta); // quay quanh gốc
    return {rotated.x + O.x, rotated.y + O.y}; // trả O về chỗ cũ
}

3. Phép quay 90°¶

3.1 Quay 90° ngược chiều kim đồng hồ (CCW)¶

\((x, y) \to (-y, x)\)

3.2 Quay 90° theo chiều kim đồng hồ (CW)¶

\((x, y) \to (y, -x)\)

C++

Point rotate90CCW(Point P) { return {-P.y, P.x}; }
Point rotate90CW(Point P) { return {P.y, -P.x}; }

4. Ứng dụng: Điểm đối xứng qua trục¶

4.1 Đối xứng qua trục tung \(Oy\)¶

\((x, y) \to (-x, y)\)

4.2 Đối xứng qua trục hoành \(Ox\)¶

\((x, y) \to (x, -y)\)

4.3 Đối xứng qua đường thẳng bất kỳ¶

Xem Bài 61 - phần reflectPoint.

5. Kiểm tra điểm nằm trong góc¶

5.1 Bài toán¶

Cho 3 điểm \(O, A, B\). Kiểm tra điểm \(P\) có nằm trong góc \(\angle AOB\) không.

5.2 Ý tưởng¶

Sử dụng cross product để kiểm tra \(P\) nằm cùng phía \(A\) và \(B\) so với \(O\).

C++

// Kiểm tra P nằm trong góc AOB (góc < 180°)
bool pointInAngle(Point O, Point A, Point B, Point P) {
    double crossOA = cross(A - O, P - O);
    double crossOB = cross(B - O, P - O);
    if (cross(A - O, B - O) >= 0) {
        return crossOA >= -1e-9 && crossOB <= 1e-9;
    } else {
        return crossOA >= -1e-9 || crossOB <= 1e-9;
    }
}

6. Xoay hình học¶

6.1 Xoay đa giác¶

Xoay toàn bộ đa giác quanh tâm \(O\) góc \(\theta\):

C++

vector<Point> rotatePolygon(vector<Point>& poly, Point O, double theta) {
    vector<Point> result;
    for (auto& P : poly)
        result.push_back(rotateAround(P, O, theta));
    return result;
}

6.2 Ứng dụng: Bài toán minimum bounding rectangle¶

Xoay đa giác các góc khác nhau để tìm hình chữ nhật bao nhỏ nhất.

7. Lỗi thường gặp¶

// SAI: truyền độ vào hàm cần radian
rotate(P, 90); // quay 90 radian!

// ĐÚNG: đổi sang radian trước
rotate(P, 90 * M_PI / 180.0);

Nhầm chiều quay: công thức trên là CCW (ngược kim đồng hồ). Muốn quay CW (thuận kim đồng hồ) góc \(\theta\) thì truyền \(-\theta\).
M_PI không có trên MSVC: thêm #define _USE_MATH_DEFINES trước #include <bits/stdc++.h>, hoặc tự định nghĩa const double PI = acos(-1);.
So sánh == với số thực: sau quay, tọa độ là số thực — kiểm tra bằng nhau phải dùng abs(a - b) < 1e-9, không dùng ==.
Quên tịnh tiến khi quay quanh điểm bất kỳ: rotate(P, theta) luôn quay quanh gốc tọa độ. Muốn quay quanh \(O\) phải dùng rotateAround (tịnh tiến → quay → tịnh tiến ngược).
acos nhận giá trị ngoài \([-1, 1]\): do sai số làm tròn, dot/(|A||B|) có thể ra \(1.0000000002\) → acos trả NaN. Luôn clamp như code §1.2.

8. Bài tập luyện tập (FPTOJ)¶

Bài	Nền tảng	Độ khó	Kiểu bài tập (Bản chất)
`rotate-point`	Quay điểm quanh gốc tọa độ	⭐	Phép quay
`rotate-angle`	Góc giữa hai vector	⭐	Góc vector
`rotate-ccw`	Xác định hướng quay	⭐	Cross product
`rotate-around`	Quay điểm quanh điểm bất kỳ	⭐⭐	Phép quay
`rotate-sort-angle`	Sắp xếp theo góc	⭐⭐	Sắp xếp góc cực
`rotate-clock-angle`	Góc quay đồng hồ	⭐⭐	Góc giữa hai vector
`rotate-polar`	Chuyển đổi tọa độ	⭐	Tọa độ cực
`rot-tri-rotate`	Diện tích tam giác sau quay	⭐⭐⭐	Phép quay + diện tích

9. Bài tập tự luận¶

Bài 1: Quay điểm¶

Đề bài: Cho điểm \(P(x,y)\) và góc \(\theta\) (độ). Quay \(P\) quanh gốc tọa độ một góc \(\theta\) ngược chiều kim đồng hồ.

Input: 3 số thực \(x, y, \theta\) \((|x|,|y| \leq 10^4, 0 \leq \theta \leq 360)\)

Output: Tọa độ điểm sau khi quay, làm tròn 4 chữ số thập phân.

Ví dụ:

Input	Output
`1 0 90`	`0.0000 1.0000`
`1 1 45`	`-0.0000 1.4142`

Lời giải

\(x' = x\cos\theta - y\sin\theta\), \(y' = x\sin\theta + y\cos\theta\). Đổi \(\theta\) từ độ sang radian.

C++

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
    double x, y, theta;
    cin >> x >> y >> theta;
    double rad = theta * M_PI / 180.0;
    double nx = x * cos(rad) - y * sin(rad);
    double ny = x * sin(rad) + y * cos(rad);
    cout << fixed << setprecision(4) << nx << " " << ny << "\n";
}

Bài 2: Góc giữa 2 vector¶

Đề bài: Cho 2 vector \(A(x_1,y_1)\) và \(B(x_2,y_2)\). Tính góc giữa chúng (độ).

Input: 4 số thực \(x_1, y_1, x_2, y_2\)

Output: Góc giữa 2 vector (độ), làm tròn 4 chữ số thập phân.

Ví dụ:

Input	Output
`1 0 0 1`	`90.0000`
`1 0 1 1`	`45.0000`

Lời giải

\(\theta = \arccos\left(\frac{A \cdot B}{|A| \cdot |B|}\right)\), đổi sang độ.

C++

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
    double x1, y1, x2, y2;
    cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
    double dot = x1 * x2 + y1 * y2;
    double mag = hypot(x1, y1) * hypot(x2, y2);
    double angle = acos(max(-1.0, min(1.0, dot / mag)));
    cout << fixed << setprecision(4) << angle * 180.0 / M_PI << "\n";
}

Bài 3: Điểm đối xứng¶

Đề bài: Cho điểm \(P(x,y)\) và đường thẳng \(Ax + By + C = 0\). Tìm điểm đối xứng của \(P\) qua đường thẳng.

Input: 5 số thực \(x, y, A, B, C\)

Output: Tọa độ điểm đối xứng, làm tròn 4 chữ số thập phân.

Ví dụ:

Input	Output
`1 0 1 -1 0`	`0.0000 1.0000`
`0 0 1 0 -3`	`6.0000 0.0000`

Lời giải

Chiếu \(P\) lên đường thẳng \(H\), rồi \(P' = 2H - P\).

C++

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
    double x, y, A, B, C;
    cin >> x >> y >> A >> B >> C;
    double d = (A * x + B * y + C) / (A * A + B * B);
    double nx = x - 2 * A * d;
    double ny = y - 2 * B * d;
    cout << fixed << setprecision(4) << nx << " " << ny << "\n";
}

Bài 4: Kiểm tra quay¶

Đề bài: Cho 3 điểm \(A, B, C\) theo thứ tự. Xác định \(C\) nằm bên trái, bên phải, hay thẳng hàng so với vector \(AB\).

Input: 6 số thực \(x_A, y_A, x_B, y_B, x_C, y_C\)

Output: LEFT, RIGHT, hoặc COLLINEAR.

Ví dụ:

Input	Output
`0 0 1 0 0 1`	`LEFT`
`0 0 1 0 0 -1`	`RIGHT`
`0 0 1 0 2 0`	`COLLINEAR`

Lời giải

Tính cross product \((B-A) \times (C-A)\). Dương = trái, âm = phải, 0 = thẳng hàng.

Bài 63: Góc & Phép Quay¶

0. Tại sao phải học?¶

1. Góc giữa hai vector¶

1.1 Dùng atan2¶

1.2 Dùng dot product¶

2. Phép quay điểm¶

2.1 Quay quanh gốc tọa độ¶

2.2 Quay quanh điểm bất kỳ¶

3. Phép quay 90°¶

3.1 Quay 90° ngược chiều kim đồng hồ (CCW)¶

3.2 Quay 90° theo chiều kim đồng hồ (CW)¶

4. Ứng dụng: Điểm đối xứng qua trục¶

4.1 Đối xứng qua trục tung \(Oy\)¶

4.2 Đối xứng qua trục hoành \(Ox\)¶

4.3 Đối xứng qua đường thẳng bất kỳ¶

5. Kiểm tra điểm nằm trong góc¶

5.1 Bài toán¶

5.2 Ý tưởng¶

6. Xoay hình học¶

6.1 Xoay đa giác¶

6.2 Ứng dụng: Bài toán minimum bounding rectangle¶

7. Lỗi thường gặp¶

8. Bài tập luyện tập (FPTOJ)¶

9. Bài tập tự luận¶

Bài 1: Quay điểm¶

Bài 2: Góc giữa 2 vector¶

Bài 3: Điểm đối xứng¶

Bài 4: Kiểm tra quay¶

💬 Bình luận